Späť

Hudobné akcie dihedrálnych grúp

Musical actions of dihedral groups

doc. RNDr. Ondrej Hutník, PhD.
Univerzita Pavla Jozefa Šafárika v Košiciach, Prírodovedecká fakulta
Ústav matematických vied
Jesenná 5, 040 01 Košice

Abstrakt:
V prírodovednej komunite je pojem grupy a akcie grupy dobre známy. Grupa, ako matematická štruktúra, tak ovplyvňuje napr. to, ako vidíme kryštály. Z tohto hľadiska sa nezdá byť scestné položiť si otázku, či môže ovplyvniť aj to, ako počujeme hudbu. Poslucháča prevedieme malou časťou matematickej teórie tónových systémov. Objasníme, ako sa dá hudba interpretovať pomocou dihedrálnej grupy rádu 24 (t.j. grupy symetrií pravidelného 12-uholníka). Zameriame sa na klasické kompozičné techniky transpozície a inverzie bežné napríklad v Bachovej zbierke Umenie fúgy a ukážeme, že tieto hudobné transpozície a inverzie predstavujú z matematického hľadiska symetrie pravidelného 12-uholníka. Spomenieme tiež hudobno-teoretický neo-Riemannovský pohľad prostredníctvom akcie grupy pôsobiacej na trojzvuky. Vyslovíme prekvapujúce zistenie, že tieto dve akcie dihedrálnej grupy na trojzvuky sú duálne. Spomínané akcie grupy a ich dualitu ilustrujeme na ukážkach známych hudobných diel Beethovena, Pachelbela, Wagnera, Ivesa a pod.

Kľúčové slová:
dihedrálna grupa, akcia grupy, symetria, hudba, torus

Abstract:
In the natural science community the notion of group and group action is well-known. A group, as a mathematical structure, influences, for instance, how we see a crystal. Perhaps it can influence how we hear music as well. We explore how music may be interpreted in terms of the group structure of the dihedral group of order 24 (i.e.,the group of symmetries of a regular 12-gon). We deal with the classical compositional techniques of transposition and inversion which are used, e.g. in Bach’s work The Art of Fugue. We will mathematically see that these musical transpositions and inversions are the symmetries of the regular 12-gon. We also mention a neo-Riemannian viewpoint described by a group action on triads. We state an unexpected observation that these two actions of the dihedral group on triads are dual. The group actions and their duality will be demonstrated using the well-known musical works of Beethoven, Pachelbel, Wagner, Ives, etc.

Keywords:
dihedral group, group action, symmetry, music, torus

Späť