Späť

Poincarého zobrazenie - dobrá ilustrácia chovania dynamického systému
Poincaré map - a good illustration of the behavior of dynamical system

Mgr. Jozef Kiseľák, PhD.
Univerzita Pavla Jozefa Šafárika v Košiciach, Prírodovedecká fakulta

Abstrakt:
Štruktúru fázového portrétu v okoliach periodických trajektórií nelineárnych dynamických systémov možno efektívne študovať pomocou tzv. Poincarého zobrazenia, označovaného aj ako zobrazenie prvého návratu. Toto zobrazenie zaviedol pred viac ako sto rokmi francúzsky matematik Henri Poincaré, ktorý je označovaný aj ako otec dynamických systémov, na to aby mohol študovať nelineárnu dynamiku, pričom motiváciou mu boli problémy mechaniky nebeských telies. Poincarého zobrazenie je jeden z najdôležitejších nástrojov pre skúmanie viacrozmerných dynamických systémov. Aj preto sa v minulosti veľa pozornosti venovalo všeobecným vlastnostiam tohto zobrazenia. Je to jedna z možností, ako zachytiť vlastnosti fázového diagramu vyššej dimenzie v priestore dimenzie nižšej. Vďaka tomu sa možno, namiesto skúmania celkovej trajektórie, zamerať iba na stavy systému v konkrétnych časových okamihoch, ktoré ležia v tzv. Poincarého rezoch. Metóda takýchto rezov umožňuje napríklad vizuálne rozlíšiť regulárne trajektórie od chaotických. Tieto a iné skutočnosti ilustrujeme na niekoľkých príkladoch.

Kľúčové slová:
Poincarého zobrazenie; dynamický systém; periodická trajektória; Poincarého rez; fázový priestor


Abstract:
The structure of the phase portrait in the neighborhoods of periodic trajectories of nonlinear dynamical systems can be effectively studied using the so-called Poincaré map, also known as first return map. This map has been introduced more than a hundred years ago by the French mathematician Henri Poincaré, which is also referred to as the “Father of dynamical systems“, to study nonlinear dynamics motivated by problems arising in celestial mechanics. Poincaré map is one of the most important tools for studying multidimensional dynamical systems, therefore a lot of attention has been paid to general properties of this mapping in the past. It is one of the ways how to capture the characteristics of the phase diagram of higher dimension in the space of lower dimension. Thanks to this, instead of examining the overall trajectory, one can focus only on states of the system at a specific times that lie in the so-called Poincaré sections. For example, the method of Poincaré sections allows us visually distinguish regular and distinguish regular and chaotic trajectories. We illustrate these and other facts by a few examples.

Keywords:
Poincaré map; dynamical system; periodic trajectory; Poincaré section; phase space

Späť